Regression & Korrelation

Poisson-Regression

Generalisiertes lineares Modell für Zähldaten mit logarithmischer Link-Funktion und Poisson-Verteilung.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Regression > Poisson Regression > Fit Poisson Model

Beschreibung

Poisson-Regression modelliert Zähldaten (nicht-negative ganzzahlige Antwort) über ein generalisiertes lineares Modell mit kanonischer Log-Link-Funktion. Die Koeffizienten werden per Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS) geschätzt. Die Ausgabe umfasst Koeffizienten, Standardfehler, z-Werte, p-Werte, Rate Ratios mit Konfidenzintervallen, Deviance, Null-Deviance, AIC, BIC, Log-Likelihood und Pseudo-R²-Maße (McFadden, Cox-Snell, Nagelkerke). Eine Überdispersionsprüfung über Pearson-χ²/df wird mitgeliefert.

Formeln

Log-Link (kanonisch)

lo g (μ_{i}) = x_{i}^{'} β

Kanonische Link-Funktion: der Logarithmus des Erwartungswerts wird als Linearkombination der Prädiktoren modelliert

Varianzfunktion

Var (Y_{i}) = μ_{i}

Poisson-Varianz: die Varianz entspricht dem Erwartungswert (Äquidispersion)

IRLS-Gewichte

w_{i} = μ_{i}

Iterative Gewichte für den IRLS-Algorithmus

Working Response

z_{i} = η_{i} + \frac{y _{i} - μ _{i}}{μ _{i}}

Linearisierte Arbeitsvariable im IRLS-Schritt

Log-Likelihood

ℓ = i = 1 \sum n [y_{i} lo g (μ_{i}) - μ_{i} - lo g (y_{i}!)]

Poisson-Log-Likelihood-Funktion

Rate Ratio

RR_{j} = exp (\hat{β}_{j})

Rate Ratio: exponentierter Koeffizient, interpretierbar als multiplikativer Effekt auf die Rate

Deviance

D = 2 i = 1 \sum n [y_{i} lo g (\frac{y _{i}}{μ ^ _{i}}) - (y_{i} - \overset{μ}{^}_{i})]

Deviance: Maß für die Modellgüte (Vergleich mit saturiertem Modell)

Überdispersion (Pearson χ²/df)

\frac{χ _{Pearson}^{2}}{df} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( y _{i} - μ ^ _{i} ) ^{2} / μ ^ _{i}}{n - p}

Pearson-χ²-Statistik dividiert durch Freiheitsgrade: Werte deutlich > 1 deuten auf Überdispersion hin

Annahmen

Antwort sind Zähldaten (nicht-negative Ganzzahlen)
Äquidispersion: Var(Y) = E(Y) = μ (Varianz gleich Erwartungswert)
Beobachtungen sind unabhängig
Log-lineare Beziehung zwischen log(μ) und den Prädiktoren
Keine perfekte Multikollinearität der Prädiktoren

Einschränkungen

Kann Überdispersion nicht modellieren (stattdessen Negativ-Binomial oder Quasi-Poisson verwenden)
Nicht geeignet für zero-inflated Daten
Standardfehler werden bei vorhandener Überdispersion unterschätzt
Große Zählwerte können zu numerischer Instabilität führen

Referenzen

Cameron, A. C., Trivedi, P. K. (2013), Regression Analysis of Count Data, 2nd Ed., Cambridge University Press
McCullagh, P., Nelder, J. A. (1989), Generalized Linear Models, 2nd Ed., Chapman & Hall
Hilbe, J. M. (2014), Modeling Count Data, Cambridge University Press