Regression & Korrelation

Überdispersions-Check

Prüft auf Überdispersion in Zähldatenmodellen anhand des Pearson-χ²/df-Verhältnisses.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Regression > Poisson Regression > Results (Goodness-of-Fit)

Beschreibung

Der Überdispersions-Check bewertet, ob die beobachtete Varianz in einem Poisson- oder Negativ-Binomial-GLM die modellierte Varianz übersteigt. Dazu wird die Pearson-χ²-Statistik aus den Pearson-Residuen berechnet und durch die Freiheitsgrade (n − p) geteilt. Ein Verhältnis nahe 1 deutet auf korrekte Dispersion hin, Werte > 1,5 auf Überdispersion und Werte > 3 auf schwere Überdispersion. In diesen Fällen sind die Standardfehler des Poisson-Modells zu klein, und es sollte ein alternatives Modell (Quasi-Poisson, Negativ-Binomial) verwendet werden.

Formeln

Pearson-Residuum

r_{P, i} = \frac{y _{i} - μ ^ _{i}}{V ( μ ^ _{i} )}

Pearson-Residuum: Differenz zwischen beobachtetem und geschätztem Wert, standardisiert durch die Wurzel der Varianzfunktion

Pearson χ²

χ_{P}^{2} = i = 1 \sum n r_{P, i}^{2}

Pearson-χ²-Statistik: Summe der quadrierten Pearson-Residuen

Dispersionsschätzer

\overset{φ}{^} = \frac{χ _{P}^{2}}{n - p}

Dispersionsschätzer: Pearson-χ² dividiert durch Freiheitsgrade

Erwartungswert unter Poisson

E (\overset{φ}{^}) \approx 1 falls Modell korrekt

Unter einem korrekt spezifizierten Poisson-Modell ist der erwartete Dispersionsschätzer ungefähr 1

Entscheidungsregeln

\overset{φ}{^} > 1, 5 \Rightarrow \ddot{U} berdispersion, \overset{φ}{^} > 3 \Rightarrow schwere \ddot{U} berdispersion

Faustregel-Schwellenwerte zur Beurteilung der Überdispersion

Annahmen

Pearson-Residuen stammen aus einem Zähldatenmodell (Poisson- oder NegBin-GLM)
Korrekte Mittelwertstruktur (ein falsch spezifizierter Mittelwert bläht χ² auf)
Unabhängige Beobachtungen

Einschränkungen

Faustregel-Schwellenwerte (1,5 / 3) — kein formaler Hypothesentest enthalten
Unterdispersion (Verhältnis ≪ 1) kann ebenfalls auf Modellfehlspezifikation hindeuten
Unterscheidet nicht zwischen Überdispersion und Zero-Inflation
Kleine Stichproben: der χ²/df-Schätzer hat eine hohe Varianz

Referenzen

Cameron, A. C., Trivedi, P. K. (2013), Regression Analysis of Count Data, 2nd Ed., Cambridge University Press, Ch. 3.4
Hilbe, J. M. (2014), Modeling Count Data, Cambridge University Press, Ch. 5