Regression & Korrelation

Anpassungs-Mangel-Test (Lack-of-Fit, F-Test über Replikate)

Vergleicht die Modell-Misspezifikation gegen reines Rauschen aus replizierten Designpunkten.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design (Pure Error + Lack of Fit row)

Beschreibung

Wenn ein Versuchsplan Replikate enthält (mehrere Beobachtungen am identischen Designpunkt), kann die Residuen-Quadratsumme SSE in zwei Komponenten zerlegt werden: SS_PE (pure error, Streuung innerhalb der Replikat-Gruppen — modell-unabhängig) und SS_LoF (lack-of-fit, alles, was das Modell jenseits der reinen Streuung nicht erklärt). Der F-Test stellt die mittlere Quadratsumme der Modell-Misspezifikation der reinen Streuung gegenüber. Ein signifikantes Ergebnis bedeutet: das Modell passt nicht zu den Daten; ein Termtyp wird vermisst (oft Quadrat- oder Wechselwirkungsterm). Pflicht-Diagnostik in der Six-Sigma-RSM-Praxis: ohne Replikate keine LoF-Bewertung möglich.

Formeln

Decomposition

SSE = S S_{PE} + S S_{L o F}

Residuen-Zerlegung in Pure-Error- und Lack-of-Fit-Komponente

Pure error

S S_{PE} = g \sum i \in g \sum (y_{i} - \overset{y}{ˉ}_{g})^{2}, d f_{PE} = g \sum (n_{g} - 1)

Summe der Abweichungen innerhalb jeder Replikat-Gruppe vom Gruppen-Mittel

Lack of fit

S S_{L o F} = SSE - S S_{PE}, d f_{L o F} = d f_{E} - d f_{PE}

Was nicht durch Pure Error erklärt wird, ist Modell-Misspezifikation

F-Test

F = \frac{M S _{L o F}}{M S _{PE}} = \frac{S S _{L o F} / d f _{L o F}}{S S _{PE} / d f _{PE}} \sim F_{d f_{L o F}, d f_{PE}}

Signifikantes F → Modell hat Misspezifikation

Annahmen

Mindestens eine Replikat-Gruppe der Größe ≥ 2 (sonst df_PE = 0)
Die Anzahl unterschiedlicher Designpunkte ist größer als die Anzahl Modell-Parameter (sonst df_LoF ≤ 0)
Residuen sind unabhängig und annähernd normalverteilt (allgemeine ANOVA-Voraussetzungen)

Einschränkungen

Ohne Replikate nicht durchführbar — die Implementierung gibt null zurück
Bei perfekt-übereinstimmenden Replikaten (MS_PE = 0): Konvention F = ∞, p = 0 wenn MS_LoF > 0; F = 0, p = 1 sonst

Referenzen

Montgomery, D.C. (2017). Design and Analysis of Experiments, 9th Ed., Wiley — Chapter 11 (Response Surface Methods)
Myers, R.H., Montgomery, D.C., Anderson-Cook, C.M. (2016). Response Surface Methodology, 4th Ed., Wiley — Chapter 2.4 (Lack of Fit Testing)