Regression & Korrelation

Hosmer-Lemeshow-Test

Prüft die Anpassungsgüte eines logistischen Regressionsmodells anhand von Gruppen vorhergesagter Wahrscheinlichkeiten.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Regression > Binary Logistic Regression > Goodness-of-Fit Tests

Beschreibung

Der Hosmer-Lemeshow-Test teilt die Beobachtungen nach vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten in G Gruppen ein und vergleicht die beobachteten mit den erwarteten Ereignissen und Nicht-Ereignissen pro Gruppe mittels einer χ²-Statistik. Unter der Nullhypothese einer adäquaten Modellanpassung folgt die Teststatistik einer χ²-Verteilung mit G − 2 Freiheitsgraden. Ein kleiner p-Wert deutet auf eine schlechte Modellanpassung hin.

Formeln

C = g = 1 \sum G [\frac{( O _{g} - E _{g} ) ^{2}}{E _{g}} + \frac{( O _{g}^{'} - E _{g}^{'} ) ^{2}}{E _{g}^{'}}]

Hosmer-Lemeshow-Teststatistik: Summe der quadrierten Abweichungen von beobachteten und erwarteten Ereignissen (O_g, E_g) und Nicht-Ereignissen (O'_g, E'_g) über alle G Gruppen

H₀

C \sim χ^{2} (G - 2) under H_{0}

Unter der Nullhypothese adäquater Anpassung folgt C einer χ²-Verteilung mit G − 2 Freiheitsgraden

Gruppen

Sort by \overset{p}{^}_{i}, divide into G approximately equal groups

Beobachtungen werden nach vorhergesagter Wahrscheinlichkeit sortiert und in G annähernd gleich große Gruppen eingeteilt

Entscheidung

Reject H_{0} if p < α

H₀ ablehnen, wenn p < α — das Modell passt schlecht zu den Daten

Annahmen

Binäre Zielvariable (0/1)
Wahrscheinlichkeiten stammen aus einem angepassten logistischen Modell
Ausreichend Beobachtungen pro Gruppe (empfohlen ≥ 5 erwartete pro Zelle)
Gruppen basieren auf Quantilen der vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten

Einschränkungen

Empfindlich gegenüber der Anzahl Gruppen G — Ergebnisse können erheblich variieren
Geringe Teststärke bei kleinen Stichproben
Gruppen mit wenigen Beobachtungen können die χ²-Approximation ungültig machen
Zeigt nicht die Richtung der Fehlanpassung — nur ob die Anpassung unzureichend ist
Nicht anwendbar für stetige Zielvariablen

Referenzen

Hosmer, D.W., Lemeshow, S., A Goodness-of-Fit Test for the Multiple Logistic Regression Model, Communications in Statistics, 1980
Hosmer, D.W., Lemeshow, S., Sturdivant, R.X., Applied Logistic Regression, 3rd Ed., Wiley, Ch. 5.2