Regression & Korrelation

Korrelationsanalyse (Pearson, Spearman, Kendall)

Berechnet Pearson r, Spearman ρ und Kendall τ inklusive p-Werte und Konfidenzintervallen.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Basic Statistics > Correlation

Beschreibung

Vollständige Korrelationsanalyse für zwei Variablen: parametrischer Pearson r (lineare Beziehung), rangbasierter Spearman ρ (monotone Beziehung) und Kendall τ (paarbasiertes Konkordanzmaß). Für jede Methode werden Korrelationskoeffizient, t- bzw. z-Statistik, zweiseitiger p-Wert, r² und Fisher- bzw. Normal-approximiertes Konfidenzintervall geliefert.

Formeln

Pearson

r = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} \cdot \sum ( y _{i} - y ˉ ) ^{2}}

Pearson-Korrelationskoeffizient: misst lineare Abhängigkeit

Spearman

ρ = r_{Pearson} (rank (x), rank (y))

Spearman ρ: Pearson-Korrelation der Ränge (mit Mittelrängen für Bindungen)

Kendall

τ = \frac{C - D}{( n _{0} - n _{x} ) ( n _{0} - n _{y} )}

Kendall τ_b: konkordante minus diskordante Paare, normiert auf bindungskorrigierte maximale Anzahl

t-Statistik

t = r \frac{n - 2}{1 - r ^{2}} \sim t (n - 2)

t-Statistik für r und ρ; bei |r| = 1 wird t = ±∞ und p = 0 gesetzt (Spezialfall perfekte Korrelation)

Annahmen

Für exakte Pearson-p-Werte: bivariate Normalverteilung
Spearman/Kendall: nur monotone Beziehung notwendig
Beobachtungen sind unabhängig

Einschränkungen

Korrelation impliziert keine Kausalität
Pearson reagiert empfindlich auf Ausreißer und nicht-lineare Zusammenhänge
Bei perfekter Korrelation (|r| = 1) ist die klassische t-Formel singulär — die Implementierung muss diesen Spezialfall robust behandeln

Referenzen

Hollander, M., Wolfe, D. A., Chicken, E. (2013), Nonparametric Statistical Methods, 3rd Ed., Wiley
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.13