Hypothesentests

Shapiro-Wilk-Test

Prüft, ob eine Stichprobe aus einer Normalverteilung stammt.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Basic Statistics > Normality Test (Shapiro-Wilk)

Beschreibung

Der Shapiro-Wilk-Test ist einer der leistungsfähigsten Tests auf Normalverteilung, besonders für kleine Stichproben (n = 3–50). Er vergleicht die geordneten Stichprobenwerte mit den erwarteten Werten einer Normalverteilung. Die Teststatistik W liegt zwischen 0 und 1 — Werte nahe 1 sprechen für Normalverteilung. Bei p < α (z.B. 0,05) wird die Nullhypothese der Normalverteilung abgelehnt.

Formeln

W = \frac{( \sum _{i = 1}^{n} a _{i} x _{(i)} ) ^{2}}{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}

Teststatistik W: Verhältnis der gewichteten Summe der geordneten Werte zum Gesamtstreuungsmaß

a = \frac{m ^{T} V ^{- 1}}{∥ m ^{T} V ^{- 1} ∥}

Gewichtungsvektor a, berechnet aus den erwarteten Normalverteilungs-Order-Statistiken m und der Kovarianzmatrix V

H₀

H_{0} : X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (μ, σ^{2})

Nullhypothese: Die Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung

Annahmen

Daten sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.)
Stichprobengröße: 3 ≤ n ≤ 5000 (optimal für n ≤ 50)
Stetige (kontinuierliche) Daten

Einschränkungen

Bei großen Stichproben (n > 5000) können auch kleine Abweichungen von der Normalverteilung signifikant werden
Nicht geeignet für diskrete Daten oder Daten mit vielen Bindungen (ties)
Die p-Wert-Approximation kann bei sehr kleinen n (n < 7) ungenau sein

Referenzen

Shapiro, S. S. & Wilk, M. B. (1965), An analysis of variance test for normality (complete samples), Biometrika, 52(3–4), 591–611
Royston, P. (1992), Approximating the Shapiro-Wilk W-test for non-normality, Statistics and Computing, 2, 117–119
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.7