Hypothesentests

Jarque-Bera-Test

Asymptotischer Normalitätstest basierend auf Schiefe und Wölbung (chi-quadrat-verteilt mit 2 Freiheitsgraden). Zuverlässig für große Stichproben (n > 30).

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Basic Statistics > Normality Test (not directly available — Jarque-Bera is common in econometrics, e.g. EViews, Stata)

Beschreibung

Der Jarque-Bera-Test prüft, ob Schiefe und Exzess-Kurtosis einer Stichprobe mit einer Normalverteilung vereinbar sind. Die Teststatistik JB = (n/6)(S² + K²/4) ist unter H₀ asymptotisch chi-quadrat-verteilt mit 2 Freiheitsgraden, wobei S die Stichproben-Schiefe und K die Exzess-Kurtosis ist. Der Test ist besonders geeignet für große Stichproben; bei kleinen Stichproben (n < 30) haben Shapiro-Wilk und Anderson-Darling eine höhere Trennschärfe.

Formeln

J B = \frac{n}{6} (S^{2} + \frac{K ^{2}}{4})

Teststatistik: Kombiniert Schiefe S und Exzess-Kurtosis K

S = \frac{m _{3}}{m _{2}^{3/2}} = \frac{\frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{3}}{( \frac{1}{n} \sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2} ) ^{3/2}}

Stichproben-Schiefe (biased, mit Populationsmoment m₂ und m₃)

K = \frac{m _{4}}{m _{2}^{2}} - 3

Exzess-Kurtosis (0 für Normalverteilung)

H₀

H_{0} : S = 0 and K = 0 \Rightarrow J B \sim χ^{2} (2)

Nullhypothese: Schiefe und Exzess-Kurtosis entsprechen einer Normalverteilung

Annahmen

Daten sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.)
Stichprobengröße: n ≥ 3 (empfohlen: n ≥ 30 für zuverlässige asymptotische Approximation)
Stetige (kontinuierliche) Daten

Einschränkungen

Asymptotischer Test — bei kleinen Stichproben (n < 30) geringe Trennschärfe (Power)
Empfindlich gegenüber Ausreißern, da Schiefe und Kurtosis auf höheren Momenten basieren
Verwendet Populationsmomente (Division durch n), nicht Stichprobenmomente (Division durch n-1)

Referenzen

Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1987), A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review, 55(2), 163–172
Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1980), Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals, Economics Letters, 6(3), 255–259
D'Agostino, R. B. & Stephens, M. A. (1986), Goodness-of-Fit Techniques, Marcel Dekker, New York