Hypothesentests

D'Agostino-Pearson-Omnibus-Test

Omnibus-Normalitätstest: Kombiniert Z-Scores aus Schiefe und Kurtosis zu einer χ²(2)-Teststatistik. Erfordert n ≥ 20.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungNot directly in Minitab — available in SciPy (scipy.stats.normaltest), R (moments::agostino.test), Stata, EViews

Beschreibung

Der D'Agostino-Pearson-Omnibus-Test transformiert die Stichproben-Schiefe und -Kurtosis jeweils in approximativ standardnormalverteilte Z-Scores (Zs und Zk). Die Summe K² = Zs² + Zk² ist unter H₀ annähernd chi-quadrat-verteilt mit 2 Freiheitsgraden. Der Test ist besonders informativ, weil er zeigt, ob die Abweichung von der Normalverteilung auf Schiefe, Kurtosis oder beide zurückzuführen ist. Die Schiefe-Transformation stammt von D'Agostino (1970), die Kurtosis-Transformation von Anscombe & Glynn (1983). Der Test erfordert mindestens 20 Datenpunkte für zuverlässige Ergebnisse.

Formeln

K²

K^{2} = Z_{s}^{2} + Z_{k}^{2} \sim χ^{2} (2)

Omnibus-Teststatistik: Summe der quadrierten Z-Scores von Schiefe und Kurtosis

Z_{s} = δ \cdot ln \frac{Y}{α} + (\frac{Y}{α})^{2} + 1

Z-Score der Schiefe nach D'Agostino (1970) — Y ist die skalierte Schiefe, δ und α hängen von n ab

Z_{k} = \frac{\frac{1 - 2/ A}{1 + x _{2} 2/ ( A - 4 )} ^{1/3} \cdot sign - ( 1 - \frac{2}{9 A} )}{2/ ( 9 A )}

Z-Score der Kurtosis nach Anscombe & Glynn (1983) — Cube-Root-Transformation der standardisierten Kurtosis

p-Value

p = e^{- K^{2} /2}

Exakte Überlebensfunktion der χ²(2)-Verteilung

H₀

H_{0} : X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (μ, σ^{2})

Nullhypothese: Die Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung

Annahmen

Daten sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.)
Stichprobengröße: n ≥ 20 (Transformationen sind für kleinere n nicht zuverlässig)
Stetige (kontinuierliche) Daten

Einschränkungen

Erfordert n ≥ 20 — für kleinere Stichproben Shapiro-Wilk verwenden
Die Z-Score-Transformationen sind Approximationen, keine exakten Ergebnisse
Für sehr schiefe Verteilungen kann der Kurtosis-Z-Score instabil werden

Referenzen

D'Agostino, R. B. (1970), Transformation to normality of the null distribution of g1, Biometrika, 57(3), 679–681
Anscombe, F. J. & Glynn, W. J. (1983), Distribution of the kurtosis statistic b2 for normal samples, Biometrika, 70(1), 227–234
D'Agostino, R. B. & Pearson, E. S. (1973), Tests for departure from normality. Empirical results for the distributions of b2 and √b1, Biometrika, 60(3), 613–622
D'Agostino, R. B., Belanger, A. & D'Agostino Jr., R. B. (1990), A suggestion for using powerful and informative tests of normality, The American Statistician, 44(4), 316–321