Hypothesentests

Anderson-Darling-Test

Prüft, ob eine Stichprobe aus einer Normalverteilung stammt — besonders empfindlich in den Verteilungsenden.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > Basic Statistics > Normality Test (Anderson-Darling)

Beschreibung

Der Anderson-Darling-Test ist ein EDF-basierter (empirische Verteilungsfunktion) Normalitätstest, der die Abweichung der empirischen von der theoretischen Verteilungsfunktion misst. Im Gegensatz zum Kolmogorov-Smirnov-Test gewichtet er Abweichungen in den Verteilungsenden stärker, was ihn besonders empfindlich für Ausreißer und schwere Enden macht. Die Teststatistik A² wird mit einem Stichprobengrößen-Korrekturfaktor zu A²* angepasst. Kleine p-Werte (p < α) sprechen gegen die Normalverteilungsannahme.

Formeln

A²

A^{2} = - n - \frac{1}{n} i = 1 \sum n [(2 i - 1) \cdot (ln Φ (z_{i}) + ln (1 - Φ (z_{n + 1 - i})))]

Teststatistik A²: Maß für die Abweichung der empirischen von der theoretischen Normalverteilung

z_i

z_{i} = \frac{x _{(i)} - x ˉ}{s}

Standardisierte, geordnete Werte (x sortiert, Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe)

A²*

A^{2 *} = A^{2} \cdot (1 + \frac{0.75}{n} + \frac{2.25}{n ^{2}})

Korrigierte Teststatistik mit Stichprobengrößen-Anpassung (D'Agostino & Stephens 1986)

H₀

H_{0} : X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (μ, σ^{2})

Nullhypothese: Die Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung

Annahmen

Daten sind unabhängig und identisch verteilt (i.i.d.)
Stichprobengröße: n ≥ 3 (empfohlen: n ≥ 8 für zuverlässige p-Werte)
Stetige (kontinuierliche) Daten
Mittelwert und Varianz werden aus der Stichprobe geschätzt (zusammengesetzter Test)

Einschränkungen

Die p-Wert-Approximation basiert auf empirischen Polynomen (Stephens 1986), nicht auf exakten Tabellen
Für sehr kleine Stichproben (n < 8) sind die p-Werte weniger zuverlässig
Nicht geeignet für diskrete Daten oder Daten mit vielen Bindungen (ties)
Testet nur auf Normalverteilung mit geschätzten Parametern — nicht für andere Verteilungen

Referenzen

Anderson, T. W. & Darling, D. A. (1954), A test of goodness of fit, Journal of the American Statistical Association, 49(268), 765–769
Stephens, M. A. (1986), Tests based on EDF statistics, in D'Agostino & Stephens (Eds.), Goodness-of-Fit Techniques, Marcel Dekker, Ch. 4
D'Agostino, R. B. & Stephens, M. A. (1986), Goodness-of-Fit Techniques, Marcel Dekker, New York
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.14