Statistische Versuchsplanung

Design-Effizienz (D, A, G)

Bewertet die Güte eines Versuchsplans anhand von drei Kriterien: D-Effizienz (Determinante), A-Effizienz (Spur) und G-Effizienz (Leverage).

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungStat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design > Design Diagnostics

Beschreibung

Die Design-Effizienz bewertet, wie gut ein Versuchsplan die Modellparameter schätzt, relativ zu einem theoretisch optimalen orthogonalen Plan. Ein Wert von 100 % bedeutet perfekte Orthogonalität. **D-Effizienz** basiert auf der Determinante der Informationsmatrix X'X. Sie minimiert das Volumen des Konfidenzellipsoids der Parameterschätzung — d.h. alle Parameter werden gleichzeitig möglichst präzise geschätzt. **A-Effizienz** basiert auf der Spur der Inversen der Informationsmatrix. Sie minimiert die mittlere Varianz der Parameterschätzungen — d.h. im Durchschnitt werden die Parameter möglichst genau geschätzt. **G-Effizienz** basiert auf dem maximalen Leverage-Wert (Diagonale der Hat-Matrix). Sie minimiert die maximale Vorhersagevarianz — d.h. kein einzelner Versuchspunkt dominiert die Schätzung unverhältnismäßig.

Formeln

D_eff

D_{eff} = \frac{( det ( X ^{⊤} X ) ) ^{1/ p}}{n} \times 100%

p = Anzahl Modellterme (inkl. Intercept), n = Anzahl Runs. Normiert die p-te Wurzel der Determinante auf die Runanzahl.

A_eff

A_{eff} = \frac{p}{n \cdot tr ( ( X ^{⊤} X ) ^{- 1} )} \times 100%

Basiert auf der Spur der Inversen der Informationsmatrix. Minimiert die mittlere Varianz der Parameterschätzungen.

G_eff

G_{eff} = \frac{p}{n \cdot max _{i} ( h _{ii} )} \times 100%

h_ii = diag(H) sind die Leverage-Werte der Hat-Matrix H = X(X'X)⁻¹X'. Minimiert die maximale Vorhersagevarianz.

H = X (X^{⊤} X)^{- 1} X^{⊤}

Die Leverage-Werte h_ii auf der Diagonale messen den Einfluss jedes Versuchspunkts auf die Schätzung.

X = 11 ⋮ 1 x_{11} x_{21} x_{n 1} x_{12} x_{22} x_{n 2} \dots \dots \dots x_{11} x_{12} x_{21} x_{22} x_{n 1} x_{n 2} \dots \dots ⋮ \dots

Enthält Intercept, codierte Haupteffekte und 2-Faktor-Wechselwirkungen.

Annahmen

Codierte Designmatrix mit Werten in {−1, 0, +1}
Lineares Modell mit Haupteffekten und 2-Faktor-Wechselwirkungen
X'X muss invertierbar sein (kein singulärer Plan)

Einschränkungen

Berücksichtigt nur Haupteffekte und 2-Faktor-WW im Modell, keine höheren Ordnungen
Konditionszahl ist eine vereinfachte Näherung (Diagonalverhältnis statt Eigenwerte)

Referenzen

Atkinson, A.C. & Donev, A.N., Optimum Experimental Designs, Oxford, 1992 — Chapter 10
Montgomery, D.C., Design and Analysis of Experiments, 10th Ed., Wiley — Chapter 11
Myers, R.H. & Montgomery, D.C., Response Surface Methodology, 4th Ed., Wiley — Chapter 7