Verteilungen & Tests

Zufallszahlen aus statistischen Verteilungen

Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen aus über 20 stetigen und diskreten Verteilungen mittels Mulberry32-PRNG.

Statusvalidated

Version1.0.0

Minitab-EntsprechungCalc > Random Data

Beschreibung

Dieses Modul implementiert reproduzierbare Zufallszahlengenerierung mittels des Mulberry32-PRNG (32-bit, deterministic). Stetige Verteilungen werden über Inversions-, Box-Muller- und Marsaglia-&-Tsang-Methoden erzeugt. Die Normalverteilung nutzt die SinhArcSinh-Transformation (Jones & Pewsey 2009), die über die Parameter ε (Schiefe) und δ (Tailweight) eine flexible Familie asymmetrischer Verteilungen ermöglicht.

Formeln

Mulberry32

s_{n + 1} = s_{n} + 0x6D2B79F5, U = \frac{t \oplus ( t ≫ 14 )}{2 ^{32}}

Deterministischer PRNG: Gleicher Seed erzeugt immer die gleiche Sequenz gleichverteilter U(0,1)-Werte.

Box-Muller

Z_{1} = - 2 ln S \cdot \frac{U _{1}}{S}, Z_{2} = - 2 ln S \cdot \frac{U _{2}}{S}

Erzeugung von Standardnormalverteilten Paaren (Z₁, Z₂) aus gleichverteilten U₁, U₂ mit S = U₁² + U₂² < 1.

SinhArcSinh

X = μ + σ \cdot sinh (\frac{arcsinh ( Z ) + ε}{δ}), Z \sim N (0, 1)

Jones-&-Pewsey-Transformation (2009): ε steuert die Schiefe, δ das Tailweight. Bei ε=0, δ=1 ergibt sich die Standard-Normalverteilung.

Gamma (Marsaglia–Tsang)

X = d \cdot v^{3} \cdot β, d = α - \frac{1}{3}, c = \frac{1}{9 d}

Marsaglia-&-Tsang-Methode für Gamma-Variaten mit Form α ≥ 1. Für α < 1 wird die Identität Gamma(α) = Gamma(α+1) · U^(1/α) genutzt.

Chi-Quadrat

X \sim χ^{2} (k) = Gamma (\frac{k}{2}, 2)

Chi-Quadrat als Spezialfall der Gamma-Verteilung.

F-Verteilung

X = \frac{χ ^{2} ( d _{1} ) / d _{1}}{χ ^{2} ( d _{2} ) / d _{2}}

Verhältnis zweier skalierter Chi-Quadrat-Variaten.

t-Verteilung

X = \frac{Z}{χ ^{2} ( ν ) / ν}, Z \sim N (0, 1)

Quotient aus Standard-Normalvariable und skalierter Chi-Quadrat-Wurzel.

Beta

X = \frac{G _{1}}{G _{1} + G _{2}}, G_{1} \sim Gamma (α, 1), G_{2} \sim Gamma (β, 1)

Beta-Variate als Verhältnis zweier unabhängiger Gamma-Variaten.

Exponential (Inversion)

X = - \frac{ln ( 1 - U )}{λ}, U \sim U (0, 1)

Inversions-Methode für die Exponentialverteilung.

Weibull (Inversion)

X = β \cdot (- ln (1 - U))^{1/ α}

Inversions-Methode für die Weibull-Verteilung mit Form α und Skala β.

Lognormal

X = e^{μ + σ Z}, Z \sim N (0, 1)

Exponentialtransformation einer Normalverteilten Variablen.

Cauchy (Inversion)

X = x_{0} + γ tan (π (U - 0, 5))

Inversions-Methode. Mittelwert und Varianz existieren nicht.

Laplace

X = μ - b \cdot sign (U - 0, 5) \cdot ln (1 - 2∣ U - 0, 5∣)

Inversions-Methode für die Laplace-Verteilung.

Gumbel Max

X = μ - β ln (- ln U)

Inversions-Methode für die Gumbel-Verteilung des Maximums (Typ-I-Extremwertverteilung).

Logistic (Inversion)

X = μ + s ln (\frac{U}{1 - U})

Inversions-Methode über die Logit-Funktion.

Dreieck

X = {a + U (b - a) (c - a) b - (1 - U) (b - a) (b - c) U < \frac{c - a}{b - a} sonst

Inversions-Methode für die Dreiecksverteilung mit Minimum a, Maximum b und Modus c.

Binomial

X = i = 1 \sum n 1 (U_{i} < p), U_{i} \sim U (0, 1)

Direkte Simulation als Summe von n Bernoulli-Versuchen.

Poisson

X = min {k : i = 1 \prod k U_{i} \leq e^{- λ}} - 1

Knuth-Algorithmus für λ < 30; Normalapproximation für λ ≥ 30.

Neg. Binomial

X \sim Poi (G), G \sim Gamma (r, \frac{1 - p}{p})

Gamma-Poisson-Mischverteilung: Zuerst Gamma-Variate erzeugen, dann Poisson-Variate mit diesem Mittelwert.

Hypergeometrisch

P (X_{i} = 1) = \frac{K _{i}}{N _{i}}, sequentielles Ziehen ohne Zur \overset{u}{¨} cklegen

Sequentielle Simulation: Ziehen ohne Zurücklegen aus endlicher Population.

Annahmen

PRNG ist deterministisch — gleicher Seed erzeugt identische Sequenzen
Mulberry32 hat eine Periode von 2³² — ausreichend für Stichproben bis ~10⁵
Alle Verteilungsparameter müssen in ihrem gültigen Bereich liegen

Einschränkungen

Mulberry32 ist kein kryptographisch sicherer Generator
Binomialverteilung mit großem n ist rechenintensiv (O(n) pro Wert)
Cauchy-Verteilung: Empirischer Mittelwert und Varianz sind instabil

Referenzen

Jones, M. C. & Pewsey, A. (2009). Sinh-arcsinh distributions. Biometrika, 96(4), 761–780.
Marsaglia, G. & Tsang, W. W. (2000). A simple method for generating gamma variables. ACM TOMS, 26(3), 363–372.
Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms. 3rd Ed. — Chapter 3.4