Verteilungen & Tests

Mathematische Hilfsfunktionen (Verteilungen)

Sammlung numerischer Verteilungsfunktionen (Normal, χ², t, F) — das Fundament aller Hypothesentests.

Statusvalidated

Version1.0.0

Beschreibung

math-utils.js bündelt die numerischen Primitiven, auf denen alle weiteren Engines aufbauen: Fehlerfunktion (erf), log-Gamma, Normal-CDF/Quantil (Abramowitz & Stegun 7.1.26 mit korrigierter Skalierung), χ²-CDF/Inverse (regularisierte unvollständige Gammafunktion), t-CDF/Inverse (regularisierte unvollständige Betafunktion), F-CDF/p-Wert/Quantil. Der Dispatcher evaluate(inputs) nimmt ein Objekt der Form {function, ...args} entgegen und gibt {result} zurück — so können alle Funktionen gegen SciPy-Fixtures validiert werden. Der 'validated'-Status bezieht sich auf diese Fixture-Suite; sie wurde nach dem normalCDF-Bug (A&S 7.1.26 Argument-Skalierung) eingeführt und schützt gegen Regressionen.

Formeln

erf

erf (x) = \frac{2}{π} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

Gauß-Fehlerfunktion (Abramowitz & Stegun 7.1.26)

normalCDF

Φ (x; μ, σ) = \frac{1}{2} [1 + erf (\frac{x - μ}{σ 2})]

Kumulative Normalverteilung

normalQuantile

Φ^{- 1} (p) via Beasley-Springer-Moro rationalen Approximation

Inverse Standardnormalverteilung

lnGamma

ln Γ (x) via Lanczos-Approximation

Logarithmus der Gammafunktion

chi2CDF

F_{χ_{ν}^{2}} (x) = P (\frac{ν}{2}, \frac{x}{2})

χ²-Verteilung via regularisierter unvollständiger Gammafunktion

tCDF

F_{t_{ν}} (t) = 1 - \frac{1}{2} I_{x (t)} (\frac{ν}{2}, \frac{1}{2}), x (t) = \frac{ν}{ν + t ^{2}}

Student-t-CDF via regularisierter unvollständiger Betafunktion

fCDF

F_{F_{d_{1}, d_{2}}} (x) = 1 - I_{y} (\frac{d _{2}}{2}, \frac{d _{1}}{2}), y = \frac{d _{2}}{d _{2} + d _{1} x}

F-Verteilung via regularisierter unvollständiger Betafunktion

Annahmen

Argumente liegen im Definitionsbereich der jeweiligen Funktion (z.B. df > 0, 0 ≤ p ≤ 1)

Einschränkungen

Relative Genauigkeit der Approximationen liegt bei etwa 1e-10 bis 1e-12 — ausreichend für alle Anwendungen in DMAIC.io, aber nicht auf Bit-Ebene identisch mit SciPy
fQuantile und chi2Inv/tInv verwenden Bisektion — nicht für extreme Tail-Wahrscheinlichkeiten (p < 1e-10 oder p > 1 − 1e-10)

Referenzen

Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions — Ch. 7 (erf), Ch. 26 (Normal CDF)
Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery — Numerical Recipes, 3rd Ed.
Lanczos, C. (1964), A Precision Approximation of the Gamma Function