Multivariate Regelkarte (Hotelling T²)

Hotelling T² — multivariate Regelkarte

Wenn ein Prozess mehrere zusammenhängende Merkmale hat (z. B. Druck und Temperatur, Härte und Dichte), reicht es nicht, jedes Merkmal mit einer eigenen Shewhart-Karte zu überwachen. Das übersieht Verschiebungen, die nur in der Korrelationsstruktur sichtbar sind: Druck steigt, Temperatur fällt — beides individuell unauffällig, gemeinsam aber ein Alarmsignal.

T²-Statistik: T²ᵢ = (xᵢ − x̄)′ S⁻¹ (xᵢ − x̄). Quadrierter Mahalanobis-Abstand jedes Punkts zum Stichprobenmittelvektor, gewichtet mit der inversen Kovarianzmatrix.

Eingriffsgrenze (Phase II, Einzelwerte): UCL = (p(m+1)(m−1)) / (m²−mp) · F_{α, p, m−p}, wobei m = Vorlauf-Stichprobengröße, p = Anzahl Merkmale, α = Falsch-Alarm-Wahrscheinlichkeit (üblich 0,0027 als 3σ-Äquivalent).

Vorteil: erkennt Korrelationsbrüche, die einzelnen Karten entgehen. Nachteil: ein Alarm sagt nicht, welches Merkmal außer Kontrolle ist — dazu brauchen Folgeanalysen (z. B. T² in Beiträge zerlegen oder klassische Karten parallel laufen).

Stolperfallen

Hochkorrelierte Merkmale doppelt erfasst: Wenn zwei Spalten faktisch dasselbe messen (Korrelation > 0,99), wird die Kovarianzmatrix singulär oder fast-singulär — die Inversion bricht ab. Vorher prüfen, ob alle Variablen unabhängig informativ sind.

Zu kleines m: Mit m ≤ p ist die Kovarianzmatrix nicht invertierbar. Faustregel: m sollte mindestens das 5-Fache von p sein, besser 10-Fache.

Diagnose schwierig: Ein T²-Alarm zeigt „irgendetwas im Merkmals-Vektor ist außerhalb". Welches Merkmal — oder welche Kombination — verantwortlich ist, sieht man nicht direkt; dafür braucht es Beitragszerlegung oder ergänzende Shewhart-Karten je Variable.

α-Wahl: α = 0,0027 entspricht der klassischen 3σ-Konvention. Größere α erhöhen die Sensitivität, vervielfachen aber Falsch-Alarme — bei p Variablen multiplikativ.

Beispieldaten

Dieses Modul wird mit den folgenden Beispieldatensätzen ausgeliefert — mit einem Klick in der App ladbar.

Verfügbar in folgenden Zyklen

• DMAIC: Control
• DMADV: Verify
• 8D: D6 — Umsetzung